Wyznaczanie fundamentalnego zbioru rozwiązań równań różniczkowych liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach rzędu wyższego niż dwa

Definicja 1:

Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzędu \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \) o stałych współczynikach nazywamy równanie postaci

(1)

\( L(y(t)):=a_{n}y^{(n)}(t)+a_{n-1}y^{(n-1)}(t)+\cdots + a_{1}y^{\prime}(t)+a_{0}y(t)=0, \hskip 1pc t\in\mathbb{R} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc a_0,\ldots ,a_n\hskip 0.3pc \) są stałymi i \( \hskip 0.3pc a_n\neq 0\hskip 0.3pc \).

Chcąc wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania ( 1 ) musimy wyznaczyć układ fundamentalny rozwiązań równania ( 1 ). Tak jak w przypadku dla \( \hskip 0.3pc n=2,\hskip 0.3pc \) szukamy rozwiązania równania ( 1 ) w postaci funkcji \( \hskip 0.3pc y(t)=e^{\lambda t}\hskip 0.3pc \).
Równanie charakterystyczne odpowiadające równaniu ( 1 ) ma postać

(2)

\( \phi (\lambda):=a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}\cdots +a_1\lambda +a_0=0. \)

Analogicznie jak w przypadku \( \hskip 0.3pc n=2,\hskip 0.3pc \) rozpatrzymy trzy przypadki.

Przpadek I. Jeżeli \( \hskip 0.3pc \lambda_1, \ldots ,\lambda_k\hskip 0.3pc \) są rzeczywistymi jednokrotnymi pierwiastki równania ( 2 ) wtedy z przykładu 7 z modułu "Liniowa zależność i niezależność funkcji" wynika, że funkcje

\( y_1(t)=e^{\lambda_1t},\ldots ,y_k(t)=e^{\lambda_kt} \)

stanowią liniowo niezależny zbiór rozwiązań równania ( 1 ).

Przpadek II. Jeżeli \( \hskip 0.3pc \lambda_0\hskip 0.3pc \) jest \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.2pc \) - krotnym pierwiatkiem równania ( 2 ) wtedy funkcje

\( y_1(t)=e^{\lambda_0 t},\hskip 0.3pc y_2(t)=te^{\lambda_0 t},\hskip 0.2pc\ldots ,\hskip 0.2pcy_k(t)=t^{k-1}e^{\lambda_0 t}, \)

są liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania ( 1 ).

Istotnie, dla dowolnej liczby naturalnej \( \hskip 0.3pc i,\hskip 0.3pc 1\le i\le k-1\hskip 0.3pc \) prawdziwa jest następująca zależność:

\( L(y_{i+1}(t))=\phi^{(i)}(\lambda_0)e^{\lambda_0t}+\phi^{(i-1)}(\lambda_0)te^{\lambda_0t}+\cdots +\phi^{\prime}(\lambda_0)t^{i-1}e^{\lambda_0t}+\phi(\lambda_0)t^ie^{\lambda_0t}. \)

Ponieważ \( \hskip 0.3pc \lambda_0\hskip 0.3pc \) jest \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.2pc \) - krotnym pierwiatkiem równania ( 2 ) więc

\( \phi^{(l)}(\lambda_0)=0\hskip 2pc {\rm dla}\hskip 2pc 0\le l\le k-1. \)

Zatem funkcja \( \hskip 0.3pc y_{i+1}(t)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 ).
Liniowa niezależność rozwiązań \( \hskip 0.3pc y_1(t),\hskip 0.3pc\ldots ,y_k(t)\hskip 0.3pc \) równania ( 1 ) wynika z wniosku 2.
Przpadek III. Niech \( \hskip 0.3pc \lambda =\alpha +\beta i\hskip 0.3pc \) będzie jednokrotnym zespolonym pierwiastkiem równania ( 2 ). Wtedy liczba sprzężona \( \hskip 0.3pc \bar{\lambda }=\alpha -\beta i\hskip 0.3pc \) też jest pierwiatkiem jednokrotnym równania ( 2 ) gdyż współczynniki równania ( 2 ) są rzeczywiste.
Analogicznie jak dla równań rzędu drugiego pokazuje się, że pierwiastkom tym odpowiadają następujące linowo niezależne rozwiązania równania ( 1 ):

\( y_1(t)=e^{\alpha t}\sin (\beta t),\hskip 1.3pc y_2(t)=e^{\alpha t}\cos (\beta t). \)

Przpadek IV.Niech \( \hskip 0.3pc \lambda =\alpha +\beta i\hskip 0.3pc \) będzie pierwiastkiem zespolonym równania ( 2 ) o krotności \( \hskip 0.3pc k,\hskip 0.3pc \) Wtedy liczba sprzężona \( \hskip 0.3pc \bar{\lambda }=\alpha -\beta i\hskip 0.3pc \) też jest pierwiatkiem równania ( 2 ) o krotności \( \hskip 0.3pc k,\hskip 0.3pc \) gdyż współczynniki równania ( 2 ) są rzeczywiste.
Analogicznie jak w "Przypadku II" dowodzi się, że następujące funkcje

\( y_1(t)=e^{\lambda t},\hskip 0.3pc y_2(t)=te^{\lambda t},\hskip 0.2pc\ldots ,\hskip 0.2pcy_k(t)=t^{k-1}e^{\lambda t},\hskip 0.2pc y_{k+1}(t)=e^{\bar \lambda t},\hskip 0.3pc y_{k+2}(t)=te^{\bar\lambda t},\hskip 0.2pc\ldots ,\hskip 0.2pcy_{2k}(t)=t^{k-1}e^{\bar\lambda t}, \)

są liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania ( 1 ).

Postępując tak samo jak dla równań rzędu drugiego można wykazać, że rozwiązaniom

\( y_{l}(t)=t^{l-1}e^{ \lambda t},\hskip 1.pc y_{k+l}(t)=t^{l-1}e^{\bar\lambda t}\hskip 1.2pc {\rm dla}\hskip 1pc 1\le l\le k , \)

równania ( 1 ) odpowiadają nastepujące funkcje

\( \begin{aligned}&y_1(t)=e^{\alpha t}\sin (\beta t),\hskip 0.3pc y_2(t)=e^{\alpha t}t\sin (\beta t),\ldots ,\hskip 0.3pc y_k(t)=e^{\alpha t}t^{k-1}\sin (\beta t),\\&y_{k+1}(t)=e^{\alpha t}\cos (\beta t),\hskip 0.3pc y_{k+2}(t)=e^{\alpha t}t\cos (\beta t),\ldots ,\hskip 0.3pc y_{2k}(t)=e^{\alpha t}t^{k-1}\cos (\beta t)\end{aligned} \)

będące rozwiązaniami równania ( 1 ). Na podstawie wniosku 3 wynika, że powyższe rozwiązania równania ( 1 ) są liniowo niezależne.

Przykład 1:

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania

\( y^{\prime\prime\prime}-2y^{\prime\prime}-y^{\prime}+2y=0. \)

Równanie charakterystyczne odpowiadające temu równaniu jest następujące

\( \lambda^3-2\lambda^2-\lambda+2=0. \)

Pierwiastkami równania charakterystycznego są liczby \( \hskip 0.3pc -1,\hskip 0.3pc 1,\hskip 0.3pc 2.\hskip 0.3pc \) Stąd na podstawie przykładu 7 funkcje

\( y_1(t)=e^{-t}, \hskip 0.3pc y_2(t)=e^t, \hskip 0.3pc y_3(t)=e^{2t} \)

stanowią układ fundamentalny dla naszego równania różniczkowego i rozwiązanie ogólne ma postać

\( y(t)=c_1e^{-t}+c_2e^t+c_3e^{2t} \)

gdzie \( c_1,\hskip 0.3pc c_2\hskip 0.2pc \) i \( \hskip0.2pc c_3\hskip 0.2pc \) są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Przykład 2:

Znaleźć rozwiązanie problemu początkowego

\( y^{\prime\prime\prime}-5y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+9y=0, \hskip 1pc y(0)=3, \hskip 0.3pc \hskip 0.3pc y^{\prime}(0)=4, \hskip 0.3pc \hskip 0.3pc y^{\prime\prime}(0)=13. \)

Równanie charakterystyczne odpowiadające temu równaniu ma postać

\( \lambda ^3-5\lambda^2 +3\lambda+9=0. \)

Ponieważ

\( \lambda ^3-5\lambda^2 +3\lambda+9=(\lambda +1)(\lambda-3)^2, \)

więc równanie charakterystyczne ma dwa pierwiastki rzeczywiste: \( \hskip 0.3pc \lambda_1=-1\hskip 0.3pc \) (pierwiastek jednokrotny) i \( \hskip 0.3pc \lambda_2=3\hskip 0.3pc \) (pierwiastek dwukrotny). Zatem następujące funkcje

\( y_1(t)=e^{-t},\hskip 0.3pc y_2(t)=e^{3t},\hskip 0.3pc y_3(t)=te^{3t} \)

są rozwiązaniami rozpatrywanego równania różniczkowego.
Pokażemy, że stanowią układ fundamentalny rozwiązań rozpatrywanego równania.
Musimy zatem wykazać, że wyżej wymienione funkcje są liniowo niezależne. Wystarczy sprawdzić czy ich wrońskian jest różny od zera

\( \begin{aligned} & W\left(y_1(t),y_2(t),y_3(t)\right)= \begin{vmatrix} e^{-t} & e^{3t} & e^{3t}t\\ -e^{-t} & 3e^{3t} & e^{3t}(1+3t) \\ e^{-t} & 9e^{3t} & e^{3t}(6+9t) \end{vmatrix} = e^{-t}e^{3t}e^{3t} \begin{vmatrix} 1 & 1 & t\\ -1 & 3 & 1+3t \\ 1 & 9 & 6+9t \end{vmatrix}=\\ & e^{5t}\begin{vmatrix} 1 & 1 & t \\ 0 & 4 & 1+4t \\ 0 & 8 & 6+8t \end{vmatrix}=e^{5t}\begin{vmatrix} 4 & 1 +4t \\ 8 & 6+8t \end{vmatrix}=e^{5t}[4(6+8t)-8(1+4t)] = 16e^{5t}\neq 0. \end{aligned} \)

Zatem rozwiązanie ogólne ma postać

\( y(t)=c_1e^{-t}+e^{3t}(c_2+c_3t). \)

Ponieważ

\( \begin{aligned}&y^{\prime}(t)=-c_1e^{-t}+3e^{3t}(c_2+tc_3)+e^{3t}c_3 =-c_1e^{-t}+e^{3t}(3c_2+c_3+3tc_3) \\&y^{\prime\prime}(t)=c_1e^{-t}+3e^{3t}(3c_2+c_3+3tc_3)+3e^{3t}c_3 =c_1e^{-t}+e^{3t}(9c_2+6c_3+9tc_3),\end{aligned} \)

więc z pierwszego warunku początkowego dostajemy

\( 3=y(0)=c_1+c_2, \)

zaś z drugiego warunku początkowego mamy

\( 4=y^{\prime}(0)=-c_1+3c_2+c_3. \)

Z trzeciego warunku początkowego otrzymujemy

\( 13=y^{\prime\prime}(0)=c_1+9c_2+6c_3. \)

Wówczas rozwiązaniem układu równań

\( \begin{cases}c_1+c_2=3\\-c_1+3c_2+c_3=4\\c_1+9c_2+6c_3=13 \end{cases} \)

jest \( \hskip 0.3pc c_1=1,\hskip 0.3pc c_2=2\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc c_3=-1.\hskip 0.3pc \)
Zatem rozwiązaniem problemu początkowego jest funkcja

\( y(t)=e^{-t}+e^{3t}(2-t). \)

Przykład 3:

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania

\( y^{(4)}+8y^{\prime\prime}+16y=0. \)

Równanie charakterystyczne odpowiadające temu równaniu jest następujące

\( \lambda^4+8\lambda^2+16=(\lambda^2+4)^2=0. \)

Pierwiastkami dwukrotnymi tego równania charakterystycznego są

\( \lambda_1=-2i, \hskip 0.3pc \lambda_2=2i. \)

Pierwiastkom tym odpowiadają następujące funkcje

\( y_1(t)=\cos(2t),\hskip 0.3pc y_2(t)=t\cos(2t),\hskip 0.3pc y_3(t)=\sin(2t),\hskip 0.3pc y_4(t)=t\sin(2t), \)

które są rozwiązaniami rozpatrywanego równania.
Z przykładu 6 wynika, że są liniowo niezależne i tym samym stanowią układ fundamentalny rozwiązań rozpatrywanego równania.
Zatem rozwiązanie ogólne równania jest postaci

\( y(t)=c_1\cos(2t)+c_2t\cos(2t)+c_3\sin(2t)+c_4t\sin(2t), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc c_1,\hskip 0.3pc c_2, \hskip 0.3pc c_3,\hskip 0.3pc c_4\hskip 0.3pc \) są to dowolne stałe.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Wyznaczanie fundamentalnego zbioru rozwiązań równań różniczkowych liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach rzędu wyższego niż dwa

Definicja 1:

Przykład 1:

Przykład 2:

Przykład 3: